Konforma avbildningar

$f(z) = z^2$

Här är $f(z) = z^2$, och det enklaste sättet att förstå denna funktion är att skriva $z$ på polär form: om $z = e^{i\theta}$, så blir $f(z) = z^2 = r^2 e^{2i\theta}.$ Funktionen $f$ fördubblar alltså argmentet och kvadrerar beloppet.


Låt oss kontrollera att $f$ avbildar första kvadranten på övre halvplanet. Flytta den ena linjen så att den går från origo längs den positiva reella axeln, och den andra linjen så att den går från origo längs den positiva imaginära axeln.

Vrid sedan den första linjen långsamt så att den roterar kring origo och se vad som händer.

Observera att $f'(z) = 2z$, så $f'(0) = 0$. Flytta linjerna så att de skär varandra i origo. Hur blir vinkeln mellan kurvorna i höger figur?