Konforma avbildningar

$f(z) = \sin z$

Den komplexa sinus-funktionen, $f(z) = \sin z$ uppför sig delvis ganska olikt den reella motsvarigheten.

Kontrollera för det första att $f$ är begränsad på den reella axeln: flytta en av linjerna så att den ligger längs den reella axeln. Är bilden begränsad? Vad händer med linjer som ligger längs den imaginära axeln? Kontrollera också att funktionen är periodisk med period $2\pi$.


Linjer som är parallella med den reella axeln ser ut att avbildas på ellipser och linjer som är parallella med den imaginära axeln på hyperbler. Kan du bevisa att så är fallet?