Errata

Sida 23, rad 4. Ett derivatatecken har fallit bort i det tredje ledet. Ekvationen ska vara: $$ u''_{xx} = (u'_x)'_x = (v'_y)'_x = v''_{yx} $$

Sida 56, ekvationen strax under mitten på sidan. Ett $\ln r$ i exponenten i mellanledet har råkat bli $r$. Så här ska det se ut: $$ z^{1/2} = e^{\frac12 \log z} = e^{\frac12(\ln r + i\theta + 2\pi k i)} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2 + \pi k i} $$

Exempel 3.13, s. 78 I den långa formeln mitt på sidan 78 har det fallit bort en 2:a i integrandens täljare. Dessutom står det $\sqrt{5}$ i stället för $\sqrt{8}$ på två ställen. Formeln ska se ut så här: \begin{align*} \newcommand{Log}{\operatorname{Log}} \newcommand{Arg}{\operatorname{Arg}} \smash{\int_{\gamma_1} \frac{2z}{z^2-2}\,dz} &= F(1-i) - F(1+i) \\ &= \Log((1-i)^2 - 2) - \Log((1+i)^2-2) \\ &= \Log(-2-2i) - \Log(-2+2i) \\ &= \ln \sqrt8 + i \Arg(-2-2i) - \ln \sqrt8 - i\Arg(-2+2i) \\ &= i\left( -\frac{3\pi}4 - \frac{3\pi}{4} \right) = - \frac{3\pi i}2. \end{align*} Motsvarande fel finns i den analoga formeln på s. 79. Denna ska vara \begin{align*} \smash{\int_{\gamma_1} \frac{2z}{z^2-2}\,dz} &= G(1-i) - G(1+i) \\ &= \Log_n((1-i)^2 - 2) - \Log_n((1+i)^2-2) \\ &= \Log_n(-2-2i) - \Log_n(-2+2i) \\ &= \ln \sqrt8 + i \Arg_n(-2-2i) - \ln \sqrt8 - i\Arg_n(-2+2i) \\ &= i\left( \frac{5\pi}4 - \frac{3\pi}4 \right) = \frac{i\pi}2. \end{align*}

Sida 96, ekvationen mitt på sidan. $z+1$ i nämnaren ska vara $z+i$. Rätt formel: $$ \int_\Gamma f(z)\,dz = \int_\Gamma \dfrac{\frac{1}{z+i}}{z-i}\,dz = 2\pi i\, \frac{1}{z+i}\bigg|_{z=i} = 2\pi i\,\frac{1}{2i} = \pi. $$

Exempel 4.21, sida 133 Ekvationen ska vara $x_{n+2} - 5x_{n+1} + 6x_{n} = 0$.

Sida 150, rad 2 Det ska stå "så måste $a_k \to 0$ då $k \to \infty$."

Figur 5.1b, på s. 158 Texten i de små staplarna har blivit felaktig. Det ska stå $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ respektive $a_{n+3}$ i de tre första staplarna.

Sida 167, rad 9. Det har försvunnit ett $1/k$ i exponenten på ett ställe. Korrekt formel är: \begin{align} \rho &= \lim_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{k\, e^{k(1+i)}}{4^k} \bigg|^{1/k} = \lim_{k\to\infty} \frac{k^{1/k}\,e}{4} = \frac{e}{4} < 1. \end{align}

Sida 200-201, sats 6.16 och 6.17 Definitionsmängderna för $f_n$ har råkat byta plats mellan satserna. I sats 6.16 ska det stå ”...och anta att $f_n : I \to \mathbb{C}$ är en följd...” medan det i sats 6.17 ska vara ”...och anta att $f_n : D \to \mathbb{C}$ är en följd...”

Sida 205, ekvationen mitt på sidan har fått ett minustecken för mycket. Det ska vara $$ s_n(x) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \iff r_n(x) = \frac{x^{n+1}}{1-x} $$

Sida 217, rad 5 Två $\theta$ i högerledet har råkat bli $t$. Rätt formel: $$ \Theta(t) = Ae^{\theta\sqrt{\lambda}} + Be^{-\theta\sqrt{\lambda}} $$ Ett liknande fel finns på den nedersta raden. Rätt formel ska vara: $$ u(\theta, t) = (A\cos k\theta + B\sin k\theta)e^{-tk^2} $$

Sida 224, rad 2 En 2:a har försvunnit ur nämnaren i ett mellansteg. Rätt formel är: \begin{align*} c_k &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-ik\Omega t}\,dt \\ &= -\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{0} e^{-ik\Omega t}\,dt + \frac{1}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-ik\Omega t}\,dt \\ &= -\frac{1}{T}\left[ \frac{e^{-ik\Omega t}}{-ik\Omega} \right]_{-T/2}^0 + \frac{1}{T}\left[ \frac{e^{-ik\Omega t}}{-ik\Omega} \right]_0^{T/2} \\ &= \frac{1}{ik\Omega T} \Big( \big( 1-e^{ik\Omega T/2} \big) - \big(e^{-ik\Omega T/2} - 1\big) \Big) \\ &= \frac{1}{2ik\pi} \Big( \big( 1-e^{ik\pi} \big) - \big(e^{-ik\pi} - 1\big) \Big) = \frac{i\big((-1)^k-1\big)}{k\pi}. \end{align*}

Sida 224, rad 3 Här står $e^{ik\pi} = e^{ik\pi} = (-1)^k$ vilket i och för sig inte är fel, men det borde ha stått \[ e^{ik\pi} = e^{-ik\pi} = (-1)^k. \]

Sida 224, rad -4 (dvs rad 4 från slutet) Felen på s 224 fortsätter att hopa sig. Här ska det stå: ”...en funktion kallas jämn om $f(-t) = f(t)$...”

Sats 7.14 Ett beloppstecken har fallit bort i nämnaren. Rätt slutsats ska vara $$ |c_k(f)| \le \frac{C}{|k|^m} $$ Motsvarande misstag finns också i slutet av beviset, där den sista formeln ska vara $$ |c_k(f)| = \left| \frac{c_k(f^{(m)})}{(ik\Omega)^m} \right| \le \frac{M}{\Omega^m |k|^m} \le \frac{C}{|k|^m} $$

Sida 243, första formeln. Denna är ofullständig. Mer korrekt är $$ c_k(f) = \frac{T}{2\pi^2}\cdot \frac{(-1)^k-1}{k^2}, \quad (k\neq 0) \qquad c_0(f) = \frac{T}{4}. $$

Sida 271, rad 4 Potensen $k$ i serien har råkat bli till $n$. Rätt formel ska vara: $$ \frac{1/2}{(1-1/2)^2} = \sum_{k=1}^\infty k \Big( \frac12 \Big)^k \iff 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} $$

Sats 10.13, sida 338 Ett $z$ i integralen har råkat bli $t$ på två ställen. Rätt formler ska vara $$ \bigg| \int_{C_R^+} f(z)e^{i\alpha z}\,dz \bigg| \le \frac{\pi}{\alpha} \max_{z\in C_R^+} |f(z)|. $$ respektive $$ \lim_{R\to\infty} \int_{C_R^+} f(z)e^{i\alpha z}\,dz = 0. $$