Om boken

Funktionsteori, eller komplex analys, är ett av de vackraste områdena inom matematiken, men ämnet har också förvånansvärt många tillämpningar inom exempelvis reglerteknik, signalbehandling och stokastiska processer.

Detaljer

Författare
Frank Wikström
Utgivningsår
2014
Antal sidor
380
ISBN
978–91–44–09375-8
Förlag
Studentlitteratur

Synopsis

Kursen i funktionsteori brukar uppfattas som svår och omfattande, och det finns ett klart behov av en lättläst kursbok på svenska som kan hjälpa studenterna att bemästra den utmanande matematiken. Förhoppningen är att texten dessutom lyckas förmedla hur fascinerande den komplexa analysen är!

Funktionsteori, eller komplex analys, är ett av de vackraste områdena inom matematiken. När man först kommer i kontakt med området, kan man inte annat än häpna över hur fantastiskt allting hänger ihop. Funktionsteori har dessutom förvånansvärt många tillämpningar inom exempelvis reglerteknik, signalbehandling och stokastiska processer.

Målet har varit att producera en text som är lättläst, utan att göra avkall på den matematiska noggrannheten och stringensen. För många studenter är kursen i funktionsteori det första mötet med modern matematisk analys, och jag har försökt att presentera materialet på ett sådant sätt att läsaren får så mycket hjälp som möjligt att gradvis vänja sig vid det kortfattade, barskrapade skrivsätt som brukar användas för ”högre matematik”.

För att underlätta för läsaren har jag därför på många ställen lagt in fler mellanliggande led än vad som är brukligt, särskilt för att förklara den typ av algebraiska förenklingar som jag erfarenhetsmässigt vet att många studenter har problem med.

Samtidigt som jag har eftersträvat en läsbar text som är begriplig även av studenter med smärre luckor i sina förkunskaper, har jag på många ställen också kostat på mig fördjupande utvikningar som kanske uppskattas fullt ut enbart av de mest intresserade läsarna. Det känns ändå viktigt att ge små korta smakprov på matematiska pärlor som ligger lite utanför den traditionella kursens mål och ramar, samt att knyta an, förbereda och i någon mån göra reklam för kommande fördjupningskurser på mer avancerad nivå.

Innehåll

Kapitel 1. Komplexa funktioner (25s)

Grundläggande egenskaper för holomorfa funktioner, Cauchy–Riemanns ekvationer och konsekvenser av dessa.

Tillämpning: Tvådimensionella strömningsproblem.

Kapitel 2. Elementära funktioner (35s)

Komplexa motsvarigheter till välkända reella funktioner: polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen, logaritmer, trigonometriska funktioner

Tillämpning: $j\omega$-metoden.

Kapitel 3. Komplex integralkalkyl (40s)

Komplexa kurvintegraler, primitiva funktioner, Cauchys integralformel och integralsats och deras konsekvenser.

Tillämpning: Algebrans fundamentalsats.

Kapitel 4. Talföljder och rekursionsekvationer (35s)

Talföljder, rekursion, i synnerhet linjära rekursionsekvationer.

Tillämpning: Tidsdiskreta system.

Kapitel 5. Serier (50s)

Oändliga summor, konvergens- och divergenstester. Numeriska uppskattningar av seriers summor.

Kapitel 6. Funktionsföljder och funktionsserier (25s)

Punktvis och likformig konvergens av funktionsföljder och funktionsserier.

Tillämpning: Weierstrass approximationssats.

Kapitel 7. Fourierserier (50s)

Fourierserier: bakgrund, konvergens, algebraiska egenskaper, symmetri, Gibbs fenomen, Parsevals formel.

Tillämpning: Bildkompression och jpeg.

Kapitel 8. Potensserier och analytiska funktioner (35s)

Potensserier, samband mellan holomorfa och analytiska funktioner. Nollställen för holomorfa funktioner, identitetssatsen.

Tillämpning: Linjära differentialekvationer.

Kapitel 9. Singulariteter (25s)

Isolerade singulariteter: hävbara singulariteter, poler, och väsentliga singulariteter. Laurentserier.

Tillämpning: z-transformen.

Kapitel 10. Residykalkyl (35s)

Residyregler. Tillämpningar av residysatsen: reella integraler och serier.

Bilaga A. Topologi

Snabbgenomgång av väsentliga topologiska begrepp som behövs för en fullständigare förståelse av den matematiska teorin.