Om boken

Funktionsteori, eller komplex analys, är ett av de vackraste områdena inom matematiken, men ämnet har också förvånansvärt många tillämpningar inom exempelvis reglerteknik, signalbehandling och stokastiska processer.

Detaljer


Författare	Frank Wikström
Utgivningsår	2014
Antal sidor	380
ISBN	978–91–44–09375-8
Förlag	Studentlitteratur

Synopsis

Kursen i funktionsteori brukar uppfattas som svår och omfattande, och det finns ett klart behov av en lättläst kursbok på svenska som kan hjälpa studenterna att bemästra den utmanande matematiken. Förhoppningen är att texten dessutom lyckas förmedla hur fascinerande den komplexa analysen är!

Funktionsteori, eller komplex analys, är ett av de vackraste områdena inom matematiken. När man först kommer i kontakt med området, kan man inte annat än häpna över hur fantastiskt allting hänger ihop. Funktionsteori har dessutom förvånansvärt många tillämpningar inom exempelvis reglerteknik, signalbehandling och stokastiska processer.

Målet har varit att producera en text som är lättläst, utan att göra avkall på den matematiska noggrannheten och stringensen. För många studenter är kursen i funktionsteori det första mötet med modern matematisk analys, och jag har försökt att presentera materialet på ett sådant sätt att läsaren får så mycket hjälp som möjligt att gradvis vänja sig vid det kortfattade, barskrapade skrivsätt som brukar användas för “högre matematik”.

Innehåll

Kapitel	Sidor	Ämne
1. Komplexa funktioner	25s	Grundläggande egenskaper för holomorfa funktioner, Cauchy–Riemanns ekvationer. Tillämpning: Tvådimensionella strömningsproblem.
2. Elementära funktioner	35s	Komplexa motsvarigheter till välkända reella funktioner. Tillämpning: $j\omega$ -metoden.
3. Komplex integralkalkyl	40s	Komplexa kurvintegraler, Cauchys integralformel och integralsats. Tillämpning: Algebrans fundamentalsats.
4. Talföljder och rekursionsekvationer	35s	Talföljder, rekursion, linjära rekursionsekvationer. Tillämpning: Tidsdiskreta system.
5. Serier	50s	Oändliga summor, konvergens- och divergenstester.
6. Funktionsföljder och funktionsserier	25s	Punktvis och likformig konvergens. Tillämpning: Weierstrass approximationssats.
7. Fourierserier	50s	Fourierserier, konvergens, Gibbs fenomen, Parsevals formel. Tillämpning: Bildkompression och jpeg.
8. Potensserier och analytiska funktioner	35s	Potensserier, holomorfa och analytiska funktioner, identitetssatsen. Tillämpning: Linjära differentialekvationer.
9. Singulariteter	25s	Isolerade singulariteter, Laurentserier. Tillämpning: $z$ -transformen.
10. Residykalkyl	35s	Residyregler, reella integraler och serier.
Bilaga A. Topologi		Snabbgenomgång av väsentliga topologiska begrepp.