Ett annat serieexempel. Graferna visar $$f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k},$$ dvs partialsummor till Maclaurinserien för $\ln(1+x)$.
Eftersom varje partialsumma är begränsad på $(-1,1)$, kan konvergensen inte vara likformig. Gränsfunktionen är ju obegränsad, men den $n$:te partialsumman, som är ett polynom av grad $n$, är förstås begränsad på $(-1,1)$. Därför måste $$ \| f_n - f \| = +\infty $$ för varje $n$.
Däremot konvergerar serien likformigt på intervallet $[0,1]$ (och på intervallet $[r,1]$ för varje $-1 < r < 1$), vilket följer ur Leibniz test. Se exmpel 6.25 i boken för detaljer. Observera att denna serie ger ett exempel som visar att Weierstrass $M$-test inte är omvändbart.