Likformig konvergens

Funktionsföljden $f_n(x) = x+\sqrt{x/n}$

Här är $f_n(x) = x+\sqrt{x/n}$. Då $n \to \infty$, så kommer $f_n(x)$ att konvergera punktvis mot $f(x) = x$ på intervallet $[0,1]$. Konvergensen är dessutom likformig, eftersom $$\| f_n - f \| = \sup_{x\in[0,1]} \left| \sqrt{\frac{x}{n}} \right| = \frac1{\sqrt n},$$ vilket visar att $\| f_n - f \| \to 0$ då $n\to\infty$.

Konvergensen är däremot ganska långsam. Till exempel är $\| f_{100}-f \| = 1/10$, så grafen till $f_{100}$ och grafen till $f$ skiljer sig åt med så mycket som 0,1 (i höger ändpunkt).