Låt $f_n(x) = x^n$. Om $0 \le x < 1$, så gäller att $$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} x^n = 0$$ och för $x=1$ är $f_n(x) = 1$ föralla $n$. Med andra ord konvergerar funktionsföljden $f_n$ punktvis mot $$f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$$
I figuren ser du grafen $y = f_n(x)$ (blå) och grafen för gränsfunktionen $y = f(x)$ (röd). I överkant kan du ändra värdet av $n$. Den gröna punkten är också flyttbar. Den hjälper till att visa vad som händer för ett fixt $x$ när $n$ varierar.
Eftersom $f$ är diskontinuerlig i $x=1$, så kan konvergensen inte vara likformig på det slutna intervallet $[0,1]$. Konvergensensen är heller inte likformig på det halvöppna intervallet $[0,1)$, eftersom $$ \sup_{0 \le x < 1} | f_n(x) - f(x) | = \sup_{0 \le x < 1} x^n = 1. $$ (Oavsett hur stort $n$ är, så går det att få $x^n$ godtyckligt nära $1$ genom att välja $x$ tillräckligt nära $1$.) Detta visar att $\lim_{n\to\infty} | f_n - f|_{[0,1)} = 1$, så konvergensen är inte likformig.
Om vi däremot fixerar ett tal $0 < r < 1$ och bara tittar på intervallet $[0,r]$, så blir konvergensen faktiskt likformig, eftersom< $$ \sup_{0 \le x \le r} | f_n(x) - f(x) | = \sup_{0 \le x \le r} x^n = r^n $$ och $r^n \to 0$ då $n \to \infty$. Konvergensen är alltså likformig på varje kompakt delintervall av $[0,1)$, men inte på hela $[0,1)$. Detta fenomen kallas lokalt likformig konvergens.