Skip to content
Utforska
Likformig konvergens
Exempel 1

Exempel 1

fn(x)=xnf_n(x) = x^n

Låt fn(x)=xnf_n(x) = x^n. Om 0≤x<10 \le x < 1, så gäller att

lim⁡n→∞fn(x)=lim⁡n→∞xn=0\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} x^n = 0

och för x=1x=1 är fn(x)=1f_n(x) = 1 för alla nn. Med andra ord konvergerar funktionsföljden fnf_n punktvis mot

f(x)={0,0≤x<11,x=1f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}

I figuren ser du grafen y=fn(x)y = f_n(x) (blå) och grafen för gränsfunktionen y=f(x)y = f(x) (röd). I överkant kan du ändra värdet av nn. Den gröna punkten är också flyttbar.

Eftersom ff är diskontinuerlig i x=1x=1, så kan konvergensen inte vara likformig på det slutna intervallet [0,1][0,1]. Konvergensen är heller inte likformig på det halvöppna intervallet [0,1)[0,1), eftersom

sup⁡0≤x<1∣fn(x)−f(x)∣=sup⁡0≤x<1xn=1. \sup_{0 \le x < 1} | f_n(x) - f(x) | = \sup_{0 \le x < 1} x^n = 1.