Om vi i stället använder Newtons metod på ekvationen $z^2 = 1$, så är resultatet mer likt den naiva intuitionen. Om vi startar med en punkt till höger om den imaginära axeln, så konvergerar Newtons metod mot lösningen $z=1$, och om vi startar till vänster om imaginära axeln, så konvergerar det mot $z=-1$.
Startpunkter som ligger precis på den imaginära axeln konvergerar inte mot någon av lösningarna. Observera att Newtoniterationen blir $$ z_{n+1} = z_n - \frac{z_n^2-1}{2z_n} = \frac{z_n^2 + 1}{2z_n}. $$ Om $z_n$ är rent imaginärt, så blir täljaren ovan reell, och nämnaren rent imaginär. Därmed kommer också $z_{n+1}$ att vara rent imaginär, och det finns ingen chans att konvergera mot någon av lösningarna.
Om vi däremot går upp ett steg i gradtal, blir figuren än mer komplicerad. Ekvationen $z^4 = 1$ har lösningarna $z = \pm 1, \pm i$, och om vi startar tillräckligt nära någon av dessa punkter, så konvergerar Newtons metod mot den lösning som ligger närmast startpunkten.
Om vi däremot väljer en startpunkt i närheten av linjerna $y = \pm x$ så är slutresultatet nästan helt omöjligt att förutsäga.