Talföljder

Newtons metod, fler exempel

Ekvationen z2=1

Om vi i stället använder Newtons metod på ekvationen z2=1, så är resultatet mer likt den naiva intuitionen. Om vi startar med en punkt till höger om den imaginära axeln, så konvergerar Newtons metod mot lösningen z=1, och om vi startar till vänster om imaginära axeln, så konvergerar det mot z=1.

Startpunkter som ligger precis på den imaginära axeln konvergerar inte mot någon av lösningarna. Observera att Newtoniterationen blir zn+1=znz2n12zn=z2n+12zn. Om zn är rent imaginärt, så blir täljaren ovan reell, och nämnaren rent imaginär. Därmed kommer också zn+1 att vara rent imaginär, och det finns ingen chans att konvergera mot någon av lösningarna.

0
0.5
-0.5
1
-1
1.5
-1.5
2
-2
0

Ekvationen z4=1

Om vi däremot går upp ett steg i gradtal, blir figuren än mer komplicerad. Ekvationen z4=1 har lösningarna z=±1,±i, och om vi startar tillräckligt nära någon av dessa punkter, så konvergerar Newtons metod mot den lösning som ligger närmast startpunkten.

Om vi däremot väljer en startpunkt i närheten av linjerna y=±x så är slutresultatet nästan helt omöjligt att förutsäga.

0
0.5
-0.5
1
-1
1.5
-1.5
2
-2
0