Geometriska följder

Följder av typen $r, r^2, r^3, \ldots$ kallas geometriska. Anledningen är att varje element är det geometriska medelvärdet av föregående och nästkommande element. (Det geometriska medelvärdet av två positiva tal $x$ och $y$ defineras som $\sqrt{xy}$.)

Om $r$ är ett komplext tal, så bildar den geometriska följden $r, r^2, r^3, \ldots$ en slags spiral i det komplexa talplanet. Om $|r| < 1$, så är $\lim_{n\to\infty} r^n = 0$, och om $|r| > 1$ så divergerar följden ”mot oändligheten”. Kontrollera att detta verkar stämma genom att flytta omkring startpunken i figuren ovan.

Vad händer om $|r| = 1$? Flytta startpunkten så att $r = i$, respektive $r = -1$. Kan du hitta ett värde på $r$ som gör följden periodisk med period 3? Med period 5? Med period 6? Ger alla startpunkter på enhetscirkeln upphov till periodiska följder?