Skip to content
Utforska
Talföljder
Geometriska summor

Geometriska summor

Om vi bildar partialsummor till en geometrisk följd, så får vi geometriska summor:

r r

r+r2 r + r^2

r+r2+r3 r + r^2 + r^3

⋮ \vdots

Det vanliga tricket för att beräkna dessa summor är att multplicera med rr: Sätt s=r+r2+⋯+rns = r + r^2 + \cdots + r^n. Då blir

rs=r2+r3+⋯+rn+1 rs = r^2 + r^3 + \cdots + r^{n+1}

och subtraktion ger s(r−1)=rn+1−rs(r-1) = r^{n+1} - r, dvs.

s=r+r2+⋯+rn=rn+1−rr−1. s = r + r^2 + \cdots + r^n = \frac{r^{n+1}-r}{r-1}.

Dessa tal bildar också ”spiraler” i komplexa talplanet:

Om ∣r∣<1|r| < 1, så konvergerar de geometriska summorna när n→∞n \to \infty, och gränsvärdet blir r1−r\dfrac{r}{1-r}. Om ∣r∣≥1|r| \ge 1, så divergerar summorna.

Kontrollera att det verkar stämma. Figuren visar de 15 första partialsummorna, och en grön prick visar gränsvärdet. Om ∣r∣|r| är nästan 1, så konvergerar summorna långsamt, och den gröna pricken ligger ganska långt ifrån s15s_{15}, men om ∣r∣|r| är litet, så är s15s_{15} praktiskt taget lika med gränsvärdet av summorna.

Kan du välja rr sådant att summan blir 1+i1+i? Kan du välja rr så att summan blir −1-1?