Om vi bildar partialsummor till en geometrisk följd, så får vi geometriska summor: $$ r $$ $$ r + r^2 $$ $$ r + r^2 + r^3 $$ $$ \vdots $$
Det vanliga tricket för att beräkna dessa summor är att multplicera med $r$: Sätt $s = r + r^2 + \cdots + r^n$. Då blir $$ rs = r^2 + r^2 + \cdots + r^{n+1} $$ och subtraktion ger $s(r-1) = r^{n+1} – r$, dvs. $$ s = r + r^2 + \cdots + r^n = \frac{r^{n+1}-r}{r-1}. $$
Dessa tal bildar också ”spiraler” i komplexa talplanet:
Om $|r| < 1$, så konvergerar de geometriska summorna när $n \to \infty$, och gränsvärdet blir $\dfrac{r}{1-r}$. Om $|r| \ge 1$, så divergerar summorna.
Kontrollera att det verkar stämma. Figuren visar de 15 första partialsummorna, och en grön prick visar gränsvärdet. Om $|r|$ är nästan 1, så konvergerar summorna långsamt, och den gröna pricken ligger ganska långt ifrån $s_{15}$, men om $|r|$ är litet, så är $s_{15}$ praktiskt taget lika med gränsvärdet av summorna.
Kan du välja $r$ sådant att summan blir $1+i$? Kan du välja $r$ så att summan blir $-1$?