Skip to content
Utforska
Fourierserier
Fyrkantsvågen

Fyrkantsvågen

Den 2π2\pi-periodiska fyrkantsvågen, se exempel 7.7 för detaljer, har en exponentiell Fourierserie

∑k=−∞k≠0∞i((−1)k−1)πk⋅eikt\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\neq 0}}^\infty \frac{i((-1)^k-1)}{\pi k}\cdot e^{ikt}

och lite algebra visar att motsvarande trigonometriska Fourierserie blir

4π(sin⁡t+sin⁡3t3+sin⁡5t5+⋯ ).\frac{4}{\pi} \left( \sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \cdots \right).

I figuren ovan ser du dels fyrkantsvågen själv (i grönt), dels partialsummor till dess trigonometriska Fourierserie (i blått). Genom att flytta reglaget längst nere till höger kan du välja antalet termer i partialsumman.

Eftersom fyrkantsvågen inte är kontinuerlig, så kan Fourierserien inte konvergera likformigt. Sats 7.17 visar dock att Fourierserien konvergerar mot fyrkantsvågen punktvis, förutom precis i fyrkantsvågens språngpunkter där Fourierserien konvergerar mot medelvärdet av fyrkantsvågens höger- och vänstergränsvärden, dvs mot 0.

Notera även Gibbs fenomen precis i närheten av språngpunkterna.