Funktionen $f(z) = e^z$ har Taylorserier som är enkla att beräkna, eftersom $f^{(k)}(z) = e^z$ för alla heltal $k \ge 0$. Taylorserien för $f$ kring $z=a$ blir alltså \begin{align*} &f(a) + f'(a)(z-a) + \frac{f''(a)}{2!}(z-a)^2 + \cdots \\ &\qquad= e^a + e^a(z-a) + \frac{e^a}{2!}(z-a)^2 + \cdots. \end{align*}
Eftersom $f$ är holomorf på hela $\mathbb{C}$, kommer Taylorserien också att konvergera på hela $\mathbb{C}$, och konvergensen är likformig på varje kompakt mängd. (Konvergensradien är $\infty$.)
Termerna går fort mot 0 då graden går mot oändligheten, tack vare faktorn $k!$ i nämnaren, och potensserien konvergerar därför ganska snabbt.
Undersök hur många termer i potensserien som man måste ta med för att konvergensen ska vara bra på ett intervall av längd (t.ex) 2. Har det någon betydelse vad $a$ är? Du kan flytta centrum för potensserieutveckligen genom att dra i punkten $a$.