Skip to content
Utforska
Potensserier
e^z

e^z

f(z)=ezf(z) = e^z

Funktionen f(z)=ezf(z) = e^z har Taylorserier som är enkla att beräkna, eftersom f(k)(z)=ezf^{(k)}(z) = e^z för alla heltal k≥0k \ge 0. Taylorserien för ff kring z=az=a blir alltså

f(a)+f′(a)(z−a)+f′′(a)2!(z−a)2+⋯=ea+ea(z−a)+ea2!(z−a)2+⋯ .\begin{align*} &f(a) + f'(a)(z-a) + \frac{f''(a)}{2!}(z-a)^2 + \cdots \\ &\qquad= e^a + e^a(z-a) + \frac{e^a}{2!}(z-a)^2 + \cdots. \end{align*}

Eftersom ff är holomorf på hela C\mathbb{C}, kommer Taylorserien också att konvergera på hela C\mathbb{C}. (Konvergensradien är ∞\infty.)

Undersök hur många termer i potensserien som man måste ta med för att konvergensen ska vara bra på ett intervall av längd (t.ex) 2. Du kan flytta centrum för potensserieutveckling genom att dra i punkten aa.