Wirtingerderivator
Genom att införa två speciella partiella differentialoperatorer $\dfrac{\partial}{\partial z}$ och $\dfrac{\partial}{\partial \bar z}$ går det att ge Cauchy-Riemanns ekvationer ett annat, mer suggestivt utseende.
Vi börjar med att definiera $\dfrac{\partial}{\partial z}$ och $\dfrac{\partial}{\partial \bar z}$. Dessa operatorer brukar kallas Wirtingerderivator.
Definition
Låt \[ \dfrac{\partial}{\partial z} = \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \Big) \] och \[ \dfrac{\partial}{\partial \bar z} = \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \Big)\]
(Observera tecknet på "imaginärdelarna". De är kanske tvärtom mot vad man förväntar sig.)
En finess med dessa operatorer är att vi kan prata om $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ och $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}$ även om funktionen $f$ inte är holomorf. För att $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ ska vara meningsfullt, räcker det att $f$:s real- och imaginärdelar är partiellt deriverbara. Vi räknar ett par exempel.
Exempel
Låt $f(z) = z^2$. Beräkna $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ och $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}$.
Lösning
Vi får att \begin{align} \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \Big) \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) \\ &= \frac12 \frac{\partial}{\partial x} \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) - \frac{i}{2} \frac{\partial}{\partial y} \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) \\ &= \frac12 \big( 2x + 2iy \big) - \frac{i}{2} \big( -2y + 2ix \big) \\ &= (x+iy) + (x+iy) = 2z \end{align} och \begin{align} \frac{\partial f}{\partial \bar z} &= \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \Big) \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) \\ &= \frac12 \frac{\partial}{\partial x} \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) + \frac{i}{2} \frac{\partial}{\partial y} \big( x^2 - y^2 + 2ixy \big) \\ &= \frac12 \big( 2x + 2iy \big) + \frac{i}{2} \big( -2y + 2ix \big) \\ &= (x+iy) + (-x-iy) = 0 \end{align}
Cauchy-Riemanns ekvationer
Det är ingen slump att $\dfrac{\partial f}{\partial z} = f'$ i exemplet ovan. Det är heller ingen slump att $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$. I själva verket går Cauchy-Riemanns ekvationer att skriva om som $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$.
Sats
En funktion $f$ (där real- och imaginärdelarna till $f$ är differentierbara) är komplext deriverbar i en punkt $z = a$ om och endast om \[ \dfrac{\partial f}{\partial \bar z}(a) = 0. \] I sådana punkter gäller dessutom att \[ f'(a) = \dfrac{\partial f}{\partial z}(a). \]
Bevis
Dela på vanligt vis upp $f$ i sina real- och imaginärdelar: \[ f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) \] där $u$ och $v$ är reellvärda. Vi beräknar $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}$: \begin{align} \frac{\partial f}{\partial \bar z} &= \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \Big) \big( u(x,y) + iv(x,y) \big) \\ &= \frac12 \frac{\partial}{\partial x} \big( u(x,y) + iv(x,y) \big) + \frac{i}{2} \frac{\partial}{\partial y} \big(u(x,y) + iv(x,y) \big) \\ &= \frac12 \big( u'_x(x,y) + iv'_x(x,y)\big) + \frac{i}{2} \big(u'_y(x,y) + iv'_y(x,y) \big) \\ &= \frac12 \big( u'_x(x,y) - v'_y(x,y) \big) + \frac{i}{2} \big( v'_x(x,y) + u'_y(x,y) \big). \end{align} Vi ser alltså att $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$ om och endast om \[ \begin{cases} u'_x = v'_y \\ u'_y = -v'_x \end{cases} \] dvs. om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda. En motsvarande beräkning visar att \begin{align} \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac12 \Big( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \Big) \big( u(x,y) + iv(x,y) \big) \\ &= \frac12 \frac{\partial}{\partial x} \big( u(x,y) + iv(x,y) \big) - \frac{i}{2} \frac{\partial}{\partial y} \big(u(x,y) + iv(x,y) \big) \\ &= \frac12 \big( u'_x(x,y) + iv'_x(x,y)\big) - \frac{i}{2} \big(u'_y(x,y) + iv'_y(x,y) \big) \\ &= \frac12 \big( u'_x(x,y) + v'_y(x,y) \big) + \frac{i}{2} \big( v'_x(x,y) - u'_y(x,y) \big) \\ &= \frac12 \big( u'_x(x,y) + u'_x(x,y) \big) + \frac{i}{2} \big( v'_x(x,y) + v'_x(x,y) \big) \\ &= u'_x(x,y) +i v'_x(x,y) \end{align} vilket är lika med $f'(a)$ under förutsättning att $f'(a)$ existerar. (Observera att vi använde Cauchy-Riemanns ekvationer för att komma till den näst sista raden, och att slutresultatet är lika med den första formeln i ekvation (1.2) i kursboken.
Varför kallas dessa operatorer för $\dfrac{\partial}{\partial z}$ och $\dfrac{\partial}{\partial \bar z}$?
En poäng med att införa Wirtingerderivator är att vi kan låtsas att vi betraktar $z$ och $\bar z$ som "oberoende" variabler. Om vi gör det så fungerar Wirtingerderivatorna som "vanliga" partiella derivator. Med andra ord: för att "derivera med avseende på $\bar z$" håller vi $z$ konstant. Detta argument är egentligen nonsens, eftersom $z$ och $\bar z$ definitivt inte är oberoende. Om vi vet värdet av $z$, så vet vi förstås också värdet av $\bar z$. Trots det är ovanstående mentala modell praktisk och användbar.
Det är inte alltför svårt att kontrollera att \begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial z} &= 1 & \dfrac{\partial z}{\partial \bar z} = 0 \\ \dfrac{\partial \bar z}{\partial z} &= 0 & \dfrac{\partial \bar z}{\partial \bar z} = 1 \end{align} så i den meningen uppför sig verkligen $z$ och $\bar z$ som obeorende variabler.
Dessutom kan alla komplexa funktioner, oavsett om de är holomorfa eller inte, skrivas som en "funktion av $z$ och $\bar z$". Till exempel kan vi först dela upp $f$ i sina real- och imaginärdelar och därefter ersätta \[ x = \frac{z + \bar z}{2} \qquad y = \frac{z - \bar z}{2i}. \] Kvar får vi då bara ett uttryck som innehåller $z$ och $\bar z$ som sedan kan deriveras. Vi illustrerar idén med ett exempel.
Exempel: Var är funktionen $f(z) = |z|^2$ komplext deriverbar?
I stället för att använda Cauchy-Riemanns ekvationer, skriver vi direkt om $f$ med hjälp av $z$ och $\bar z$: \[ f(z) = |z|^2 = z \bar z. \] Om vi sedan "betraktar $z$ och $\bar z$ som oberoende variabler" får vi \[ \dfrac{\partial f}{\partial z} = \bar z \qquad \dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = z. \] Vi ser alltså att $\dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$ om och endast om $z=0$. Den enda punkt där funktionen $f$ är komplext deriverbar blir alltså $z=0$.