Wirtingerderivator
Genom att införa två speciella partiella differentialoperatorer ∂∂z och ∂∂ˉz går det att ge Cauchy-Riemanns ekvationer ett annat, mer suggestivt utseende.
Vi börjar med att definiera ∂∂z och ∂∂ˉz. Dessa operatorer brukar kallas Wirtingerderivator.
Definition
Låt ∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y) och ∂∂ˉz=12(∂∂x+i∂∂y)
(Observera tecknet på "imaginärdelarna". De är kanske tvärtom mot vad man förväntar sig.)
En finess med dessa operatorer är att vi kan prata om ∂f∂z och ∂f∂ˉz även om funktionen f inte är holomorf. För att ∂f∂z ska vara meningsfullt, räcker det att f:s real- och imaginärdelar är partiellt deriverbara. Vi räknar ett par exempel.
Exempel
Låt f(z)=z2. Beräkna ∂f∂z och ∂f∂ˉz.
Lösning
Vi får att ∂f∂z=12(∂∂x−i∂∂y)(x2−y2+2ixy)=12∂∂x(x2−y2+2ixy)−i2∂∂y(x2−y2+2ixy)=12(2x+2iy)−i2(−2y+2ix)=(x+iy)+(x+iy)=2z och ∂f∂ˉz=12(∂∂x+i∂∂y)(x2−y2+2ixy)=12∂∂x(x2−y2+2ixy)+i2∂∂y(x2−y2+2ixy)=12(2x+2iy)+i2(−2y+2ix)=(x+iy)+(−x−iy)=0
Cauchy-Riemanns ekvationer
Det är ingen slump att ∂f∂z=f′ i exemplet ovan. Det är heller ingen slump att ∂f∂ˉz=0. I själva verket går Cauchy-Riemanns ekvationer att skriva om som ∂f∂ˉz=0.
Sats
En funktion f (där real- och imaginärdelarna till f är differentierbara) är komplext deriverbar i en punkt z=a om och endast om ∂f∂ˉz(a)=0. I sådana punkter gäller dessutom att f′(a)=∂f∂z(a).
Bevis
Dela på vanligt vis upp f i sina real- och imaginärdelar: f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) där u och v är reellvärda. Vi beräknar ∂f∂ˉz: ∂f∂ˉz=12(∂∂x+i∂∂y)(u(x,y)+iv(x,y))=12∂∂x(u(x,y)+iv(x,y))+i2∂∂y(u(x,y)+iv(x,y))=12(u′x(x,y)+iv′x(x,y))+i2(u′y(x,y)+iv′y(x,y))=12(u′x(x,y)−v′y(x,y))+i2(v′x(x,y)+u′y(x,y)). Vi ser alltså att ∂f∂ˉz=0 om och endast om {u′x=v′yu′y=−v′x dvs. om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda. En motsvarande beräkning visar att ∂f∂z=12(∂∂x−i∂∂y)(u(x,y)+iv(x,y))=12∂∂x(u(x,y)+iv(x,y))−i2∂∂y(u(x,y)+iv(x,y))=12(u′x(x,y)+iv′x(x,y))−i2(u′y(x,y)+iv′y(x,y))=12(u′x(x,y)+v′y(x,y))+i2(v′x(x,y)−u′y(x,y))=12(u′x(x,y)+u′x(x,y))+i2(v′x(x,y)+v′x(x,y))=u′x(x,y)+iv′x(x,y) vilket är lika med f′(a) under förutsättning att f′(a) existerar. (Observera att vi använde Cauchy-Riemanns ekvationer för att komma till den näst sista raden, och att slutresultatet är lika med den första formeln i ekvation (1.2) i kursboken.
Varför kallas dessa operatorer för ∂∂z och ∂∂ˉz?
En poäng med att införa Wirtingerderivator är att vi kan låtsas att vi betraktar z och ˉz som "oberoende" variabler. Om vi gör det så fungerar Wirtingerderivatorna som "vanliga" partiella derivator. Med andra ord: för att "derivera med avseende på ˉz" håller vi z konstant. Detta argument är egentligen nonsens, eftersom z och ˉz definitivt inte är oberoende. Om vi vet värdet av z, så vet vi förstås också värdet av ˉz. Trots det är ovanstående mentala modell praktisk och användbar.
Det är inte alltför svårt att kontrollera att ∂z∂z=1∂z∂ˉz=0∂ˉz∂z=0∂ˉz∂ˉz=1 så i den meningen uppför sig verkligen z och ˉz som obeorende variabler.
Dessutom kan alla komplexa funktioner, oavsett om de är holomorfa eller inte, skrivas som en "funktion av z och ˉz". Till exempel kan vi först dela upp f i sina real- och imaginärdelar och därefter ersätta x=z+ˉz2y=z−ˉz2i. Kvar får vi då bara ett uttryck som innehåller z och ˉz som sedan kan deriveras. Vi illustrerar idén med ett exempel.
Exempel: Var är funktionen f(z)=|z|2 komplext deriverbar?
I stället för att använda Cauchy-Riemanns ekvationer, skriver vi direkt om f med hjälp av z och ˉz: f(z)=|z|2=zˉz. Om vi sedan "betraktar z och ˉz som oberoende variabler" får vi ∂f∂z=ˉz∂f∂ˉz=z. Vi ser alltså att ∂f∂ˉz=0 om och endast om z=0. Den enda punkt där funktionen f är komplext deriverbar blir alltså z=0.