Tredjegradsekvationen

I många böcker brukar de komplexa talen introduceras för att kunna lösa godtyckliga andragradsekvationer, men ur ett historiskt perspektiv, så var det faktiskt när man började lösa tredjegradsekvationer som de komplexa talen på allvar började användas!

Att ”hitta på” lösningar till andragradsekvationer är egentligen inte så värst användbart, åtminstone inte om dessa andragradsakvationer kommer från problem hämtade ur ”verkligheten”. Det är svårt att föreställa sig $3+i$ stycken apelsiner.

Det som verkligen fick de komplexa talen att slå igenom var alltså när man började lösa tredjegradsekvationer. Det visar sig att komplexa tal oundvikligen dyker upp när man genomför beräkningarna som behövs för att lösa de tredjegradsekvationer som har tre reella lösningar. De komplexa talen försvinner alltså i slutresultatet, men dyker upp längs vägen.

Lösning av ekvationen $x^3 + px + q = 0$

Låt oss börja med tredjegradsekvationer som saknar $x^2$-term: $$x^3 + px + q = 0 \tag{1}$$ Idén är att leta lösningar på formen $x = u+v$. Finessen med att byta ut $x$ mot två nya variabler $u$ och $v$ är att det ger oss lite större frihet. Vi kan experimentera med olika relationer mellan $u$ och $v$. Insättning i (1) ger: \begin{align} (u+v)^3 + p(u+v) + q &= 0 \quad\Leftrightarrow\quad \\\\ u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + p(u+v) + q &= 0 \quad\Leftrightarrow\quad \\\\ u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q &= 0 \quad\Leftrightarrow\quad \\\\ u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q &= 0. \end{align} Om vi nu väljer $u$ och $v$ på ett sådant sätt att $3uv+p = 0$ och $u^3 + v^3 + q = 0$, så har vi hittat en lösning till vår tredjegradsekvation (1). Vi vill alltså lösa ekvationssystemet: \begin{cases} u^3+v^3 &= -q \\ 3uv &= -p \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} u^3+v^3 &= -q \\ u^3v^3 &= -p^3/27 \end{cases} vilket egentligen borde vara åtminstone lika svårt som att lösa tredjegradsekvationen direkt. Men fantatiskt nog är detta system betydligt enklare att lösa än den ursprungliga ekvationen.

Efter ovanstående omskrivning kan vi sätta $t = u^3$ och $s = v^3$, dvs. $$ \begin{cases} t+s &= -q \\\\ ts &= -p^3/27 \end{cases}, $$ vilket går att lösa som en andragradsekvation i en av de nya variablerna. Om vi är riktigt listiga, så tar vi en genväg och kommer ihåg sambandet mellan koefficienterna och nollställena till en andragradsekvation: $s$ och $t$ måste vara lösningarna till andragradsekvationen: $$y^2 + qy - \frac{p^3}{27} = 0.$$ Med andra ord är $$ t,s = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} $$ och därför måste \begin{align} u &= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}, \\\\ v &= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}. \end{align}

Till sist har vi alltså en lösning till vår tredjegradsekvation, nämligen: $$ x = u + v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}. $$

De andra två lösningarna fås genom \begin{align} x_2 &= u\omega + v\omega^2 \\\\ x_3 &= u\omega^2 + v\omega, \end{align} där $\omega = e^{2\pi i/3} = -\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}2$.

Om $$ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad 27q^2 + 4p^3 \ge 0 $$ så blir $t$ och $s$ (och därmed $u$ och $v$) reella och det är inga egentliga problem att beräkna $x$ som blir tredjegradsekvationens enda reella lösning.

Om däremot $27q^2 + 4p^3 < 0$ behöver vi beräkna tredjeroten ur ett komplext tal för att bestämma $t$ och $s$. I detta fall blir faktiskt alla tre lösningarna reella i slutänden.

Exempel 1: Lös ekvationen $x^3 + 3x + 2 = 0$

Här är $p = 3$ och $q = 2$, så $$ t,s = -\frac22 \pm \sqrt{\frac44 + \frac{27}{27}} = -1 \pm \sqrt 2. $$ Ekvationens enda reella lösning blir därmed $$ x = \sqrt[3]{-1 + \sqrt 2} + \sqrt[3]{-1 - \sqrt 2} \approx -0.59607 $$ och de två komplexa lösningarna blir \begin{align} x_2 &= \left( -\frac12+\frac{\sqrt3}2 \right)\sqrt[3]{-1 + \sqrt 2} + \left( -\frac12-\frac{\sqrt3}2\right) \sqrt[3]{-1 - \sqrt2}\\\\[6pt] &\approx -0.29804 + 1.80734i \end{align} och \begin{align} x_3 &= \left( -\frac12-\frac{\sqrt3}2 \right)\sqrt[3]{-1 + \sqrt 2} + \left( -\frac12+\frac{\sqrt3}2\right) \sqrt[3]{-1 - \sqrt2}\\\\[6pt] &\approx -0.29804 - 1.80734i. \end{align}

Exempel 2: Lös ekvationen $x^3 - 3x + 2 = 0$

Här är $p=-3$ och $q=2$, så $$ t,s = -\frac22 \pm \sqrt{\frac44-\frac{27}{27}} = -1. $$ Vi får därmed att $u = v = 1$ och en reell lösning $$ x = u + v = 2. $$ De andra lösningarna blir \begin{align} x_2 &= u\omega + v\omega^2 \\\\ &= \left( -\frac12+\frac{\sqrt3}2 \right) + \left( -\frac12-\frac{\sqrt3}2 \right) = -1 \end{align} och $$ x_3 = u\omega^2 + v\omega = -1. $$

Exempel 3: Lös ekvationen $x^3 - 5x + 2 = 0$

Nu är $p = -5$, $q = 2$, så \begin{align} t,s &= -\frac22 \pm \sqrt{\frac44-\frac{125}{27}} \\ &= -1 \pm \sqrt{-\frac{98}{27}} = -1\pm \frac{7i\sqrt{2}}{\sqrt3}. \end{align} För att beräkna våra $u$ och $v$ måste vi nu dra tredjeroten ur $t$ respektive $s$, vilket inte är det allra enklaste. Ännu svårare är det att se att $$ u + v = 2 $$ vilket verkligen är en av de tre reella lösningarna till vår tredjegradsekvation. De andra två lösningarna blir $-1 \pm \sqrt{2}$.

Det allmänna fallet

En allmän tredjegradsekvation $$ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $$ går att överföra på ovanstående form, dvs. det går att eliminiera $x^2$-termen, med hjälp av ett variabelbyte $$ x = y - \frac{a}3. $$ Insättning ger nämligen \begin{align} 0 &= \left( y - \frac{a}3 \right)^3 + a\left( y - \frac{a}3 \right)^2 + b\left( y - \frac{a}3 \right) + c \\\\ &= y^3 - y^2a + \frac{ya^2}{3} - \frac{a^3}{27} + ay^2 - \frac{2a^2y}{3} + \frac{a^3}{9} + by - \frac{ab}3 + c \\\\ &= y^3 + y \left( b - \frac{a^2}{3} \right) + \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c \end{align} Denna ekvation kan sedan lösas med hjälp av tekniken ovan.