Argumentprincipen

Den så kallade *argumentprincipen* ger oss en viss möjlighet att visualisera komplexa funktioner, som faktiskt kan ge en liten ökad förståelse om hur komplexa funktioner "ser ut". Om inte annat, så producerar metoden mycket vackra bilder. Omslaget på kursboken är en variant av dessa bilder, med modifierad färgsättning.

Argumentprincipen

Om vi försöker att visualisera $f$ genom att rita $\arg f(z)$, där olika argument svarar mot olika färger, så kan detta användas för att få ett hum om hur $f(z)$ ”ser ut”. Mer noggrant, betrakta figur 1.

Bilden visar på vilket sätt de komplexa talen färgläggs. Positiva reella tal är röda. När argumentet ökar, så växlar röd till orange till gul till gulgrön som motsvarar komplexa tal som ligger på den positiva imaginära axeln. Från gulgrön passerar vi genom gröna toner till mintgrön som motsvarar negativa reella tal och vidare genom blåa nyanser till ljuslila när vi har nått den negativa imaginära axeln. Till sist passerar vi genom det rosa och lila spektrat på vägen tillbaka till den positiva reella axeln.

arg1 Figur 1: $\arg z$.

<div class="row markdown="1">

arg2 Figur 2: $\arg z^2$.

Om vi i stället tittar på $\arg z^2$, så kommer färgerna att snurra två varv när vi går ett varv runt origo, eftersom $\arg z^2 = 2\arg z$, se figur 2. Observera att funktionen $f(z) = z^2$ antar positiva reella värden då $z$ är reellt, vilket syns i figuren, eftersom hela den reella axeln är röd.

Mer intressant blir det om vi tillåter funktioner med flera nollställen. Anta att $f$ är en holomorf funktion som har ett nollställe i punkten $z = a$, dvs att $f(a) = 0$. En Taylorutveckling av $f$ kring $z=a$ visar att \begin{align} f(z) &= f(a) + f'(a)(z-a) + \frac12 f''(a)(z-a)^2 + \cdots \\\\ &= (z-a)^m g(z), \end{align} där $m$ är multipliciteten av nollstället och $g$ är en annan holomorf funktion som dessutom uppfyller att $g(a) \neq 0$.

Låt nu $\Gamma$ vara en liten cirkel, centrerad i $z = a$. Vi kan parametrisera $\Gamma$ genom $z(t) = a + re^{it}$, $0 \le t \le 2\pi$. Eftersom $g$ är holomorf, så är den automatiskt kontinuerlig, dvs $g(z) \approx g(a)$ om $z$ ligger nära $a$. Med andra ord är \[ f(z(t)) = (z(t)-a)^m g(z) \approx r^m e^{imt} g(a) \] om $r$ är ”tillräckligt litet”. Detta betyder att bilden av $\Gamma$ under avbildningen $f$ blir praktiskt taget en cirkel med radie $r^m$, fast genomlöpt $m$ gånger!

Slutsatsen blir alltså att en funktion med ett $m$-dubbelt nollställe i $z=a$ uppför sig nästan precis på samma sätt som funktionen $z \mapsto (z-a)^m$, åtminstone i närheten av nollstället.

I figur 3 ser du en bild av $\arg f(z)$, där $f(z) = z^2(z-i)^3(z+i)$. Om man tittar i närheten av $z=0$, så snurrar färgerna två varv när vi går längs en liten cirkel. På motsvarande sätt snurrar färgerna tre varv när vi vandrar längs en liten cirkel centrerad i $z = i$ och ett varv längs en cirkel centrerad i $z=-i$. Om vi rör oss längs ytterkanten av bilden, så snurrar vi totalt sex varv i färgcirkeln, vilket motsvarar funktionens totalt sex nollställen som syns i figuren.

arg3 Figur 3: $\arg z^2(z-i)^3(z+i)$

Poler

Om funktionen $f$ har en pol i $z=a$, så ger en liknande analys att \[ f(z) = (z-a)^{-m} g(z) \] där $m$ är polens ordning och $g$ är en funktion som är holomorf, åtminstone på en omgivning av $z=a$ och som dessutom uppfyller att $g(a) \neq 0$.

Låt $\Gamma$ vara en liten cirkel, centrerad i $z = a$ och parametrisera $\Gamma$ genom $z(t) = a + re^{it}$, $0 \le t \le 2\pi$. Eftersom $g$ är holomorf, så är den automatiskt kontinuerlig, dvs $g(z) \approx g(a)$ om $z$ ligger nära $a$. Med andra ord är \[ f(z(t)) = (z(t)-a)^{-m} g(z) \approx r^{-m} e^{-imt} g(a) \] om $r$ är ”tillräckligt litet”. Detta betyder att bilden av $\Gamma$ under avbildningen $f$ blir praktiskt taget en cirkel med radie $r^m$, fast genomlöpt $m$ gånger och i negativ riktning!

Notera att färgerna i den vänstra bilden snurrar i motsatt riktning mot i figur 5.

Figur 4: $\arg \dfrac1z$.

arg1 Figur 5: $\arg z$.


Vi tittar på ett mer komplicerat exempel. I figur 3 ser du en bild av $\arg f(z)$, där \[ f(z) = \frac{z^2}{(z-i)^3(z+i)}. \] Funktionen $f$ har ett dubbelt nollställe i $z=0$, en enkel pol i $z=-i$ och en trippel pol i $z=i$, vilket syns i bilden: i närheten av $z=0$, så snurrar färgerna två varv när vi går längs en liten cirkel. På motsvarande sätt snurrar färgerna tre varv i motsatt riktning när vi vandrar längs en liten cirkel centrerad i $z = i$ och ett varv i motsatt riktning längs en cirkel centrerad i $z=-i$.

Om vi rör oss längs ytterkanten av bilden, så snurrar vi totalt minus två varv, dvs två varv i motsatt riktning, i färgcirkeln. Observera att -2 = 2 - 4, där 2 är funktionens totala antal nollställen och 4 är funktionens totala antal poler, allting räknat med multiplicitet.

arg5 Figur 6: $\arg \dfrac{z^2}{(z-i)^3(z+i)}$.

Väsentliga singulariteter

Picards stora sats (eller Casorati-Weierstrass sats) visar på hur märkligt en funktion uppför sig i närheten av en väsentlig singularitet. I figur 7 ser du en bild av $\arg e^{1/z}$. Observera det enormt komplicerade utseendet omkring den väsentliga singulariteten $z=0$.

arg6 Figur 7: $\arg e^{1/z}$.