Fler exempel

Funktionen $f(z) = \operatorname{Log} z$ är inte holomorf på negativa reella axeln. Hur ser $\arg f(z)$ ut? Går det att visualisera diskontinuiteterna längs $\mathbb{R}_-$ ? Observera också det enkla nollstället i $z=1$ .

Figur 1. $\arg \Log z$.

Funktionen

f(z) = \frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + \cdots

har som bekant en potensserieutveckling som konvergerar för $|z|<1$ . Observera att $f$ inte har några nollställen på enhetsskivan, men om vi tittar på partialsummor till potensserieutvecklingen, så visar det sig att dessa har massor av nollställen på cirkeln $|z|=1$ , se figur 2.

I själva verket har de flesta holomorfa funktioner på enhetsskivan potensserieutvecklingar vars partialsummor uppför sig på liknande sätt.

Figur 2. $\arg (1 + z + z^2 + \cdots + z^{15})$.

Omslagsbilden

Bokens omslag visar en liknande bild av den så kallade Weierstrass $\wp$ -funktion. Färgerna är valda lite annorlunda än i de ovanstående exemplen. Dessutom har denna bild en gråskalekomponent, som ger information om $|\wp(z)|$ . Varje ”ring” motvarar en nivåkurva för $|\wp(z)|$ . De mörkare strålarna som utgår från varje pol och nollställe framhäver variationen för $\arg \wp(z)$ .

Weierstrass $\wp$ -funktion är ett exempel på en ”dubbelperiodisk” funktion. Det gäller nämligen att $\wp(z+1) = \wp(z)$ och $\wp(z+\omega) = \wp(z)$ för alla $z$ och ett specifikt val av $\omega \neq 1$ .

Funktionen definieras genom dubbelserien

\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\neq(0,0)} \left( \frac{1}{(z+m+n\omega)^2} - \frac{1}{(m+n\omega)^2} \right).

Man kan kontrollera att serien konvergerar lokalt likformigt utanför punkterna $\{ m+n\omega \in \mathbb{C} : m, n \in \mathbb{Z} \}$ där funktionen har dubbelpoler.