Poler

Om funktionen $f$ har en pol i $z=a$ , så ger en liknande analys att

f(z) = (z-a)^{-m} g(z)

där $m$ är polens ordning och $g$ är en funktion som är holomorf, åtminstone på en omgivning av $z=a$ och som dessutom uppfyller att $g(a) \neq 0$ .

Låt $\Gamma$ vara en liten cirkel, centrerad i $z = a$ och parametrisera $\Gamma$ genom $z(t) = a + re^{it}$ , $0 \le t \le 2\pi$ . Eftersom $g$ är holomorf, så är den automatiskt kontinuerlig, dvs $g(z) \approx g(a)$ om $z$ ligger nära $a$ . Med andra ord är

f(z(t)) = (z(t)-a)^{-m} g(z) \approx r^{-m} e^{-imt} g(a)

om $r$ är ”tillräckligt litet”. Detta betyder att bilden av $\Gamma$ under avbildningen $f$ blir praktiskt taget en cirkel med radie $r^m$ , fast genomlöpt $m$ gånger och i negativ riktning!

Notera att färgerna i den vänstra bilden snurrar i motsatt riktning mot i figur 2.

Figur 1. $\arg \frac1z$ färgkodat.

Figur 2. $\arg z$ färgkodat.

Vi tittar på ett mer komplicerat exempel. I figur 3 ser du en bild av $\arg f(z)$, där \[ f(z) = \frac{z^2}{(z-i)(z+i)^3}. \] Funktionen $f$ har ett dubbelt nollställe i $z=0$, en enkel pol i $z=i$ och en trippel pol i $z=-i$, vilket syns i bilden: i närheten av $z=0$, så snurrar färgerna två varv när vi går längs en liten cirkel. På motsvarande sätt snurrar färgerna tre varv i motsatt riktning när vi vandrar längs en liten cirkel centrerad i $z = -i$ och ett varv i motsatt riktning längs en cirkel centrerad i $z=i$. Om vi rör oss längs ytterkanten av bilden, så snurrar vi totalt minus två varv, dvs två varv i motsatt riktning, i färgcirkeln. Observera att -2 = 2 - 4, där 2 är funktionens totala antal nollställen och 4 är funktionens totala antal poler, allting räknat med multiplicitet.

Figur 3. $\arg \dfrac{z^2}{(z-i)(z+i)^3}$.